Montrer que dans le cas \({\Bbb K}={\Bbb R}\), une base orthogonale donne une base orthonormée comme ceci : $$e_i^\prime:=\begin{cases} e_i&\text{si}\quad e_i\text{ est isotrope}\\ \cfrac{e_i}{\sqrt{\lvert\sigma(e_i,e_i)\rvert} }&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Normalisé si pas isotrope

En effet, si \(e_i\) n'est pas isotrope, $$\sigma(e_i,e_i)=Q(e_i)\ne0$$ et donc : $$\begin{align} \sigma(e^\prime_i,e^\prime_i)&=\frac{\sigma(e_i,e_i)}{\sqrt{Q(e_i)Q(e_i)} }\\ &=\frac1{\lvert Q(e_i)\rvert}Q(e_i)\in\{-1,1\}\end{align}$$

Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de \({\Bbb R}^3\)) les matrices suivantes : $$A=\begin{pmatrix}6&-2&2\\ -2&5&0\\ 2&0&7\end{pmatrix}$$

Recherche des valeurs propres
$$\begin{vmatrix}6-\lambda&-2&2\\ -2&5-\lambda&0\\ 2&0&7-\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-3)(\lambda-6)(\lambda-9)$$

Recherche des vecteurs propres (via algo du compagnon et \(\ker(A-\lambda\operatorname{Id})\))
Les vecteurs propres associés sont : $$\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1/2\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}-1/2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1\\ -1/2\\ 1\end{pmatrix}$$

Normalisation (on divise par la norme du vecteur par rapport au produit scalaire canonique)

$$\begin{pmatrix}2/3\\ 2/3\\ -1/3\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}-1/3\\ 2/3\\ 2/3\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}2/3\\ -1/3\\ 2/3\end{pmatrix}$$